Despre numere şi sisteme de numărare

Despre numere şi sisteme de numărare

                                                                                                        Stanciu Andreea

                                                                                          Clasa a V-a, matematică-opţional

Partea I

Cum a inceput totul?

Numerele sunt peste tot in jurul nostru si ne guverneaza lumea in care traim. Fara ele n-am putea sti ce ora este sau ce data este si n-am putea inventa atatea lucruri uimitoare.

Numerele au o istorie fascinanta, si ne-a luat mult timp sa descoperim sistemul simplu pe care il folosim acum.

Cand primii oameni au inceput sa numere, mai mult ca sigur ca s-au folosit de degetele de la maini. Avand in vedere ca avem zece degete la maini, era normal sa numaram in zeci, astfel luand nastere prezentul sistem zecimal. Degetele le-au dat oamenilor o metoda la indemana de a numara, inca dinainte de a exista cuvinte pentru numere. Atingand degetele in timp ce numaram ne ajuta sa tinem evidenta, si tinandu-le ridicate, putem comunica numere fara a fi nevoie de cuvinte. Legatura dintre degete si numere este foarte veche. Chiar si astazi folosim cuvantul latin pentru deget-digit pentru a exprima numere.

Nu exista nici o explicatie matematica de ce folosim un sistem zecimal, este doar un accident al naturii. Probabil daca am fi avut doar 8 degete la maini, acum am fi numarat in baza 8.
Inainte de a inventa agricultura, oamenii nu prea aveau nevoie de numarat, traind din vanat. Ei strangeau doar atat cat le era necesar, ramanadu-le foarte putin pentru a face schimb. Si in prezent exista diferite triburi ce traiesc doar din vanat si nu stiu sa numere. Tribul Piranhã din padurea tropicala Amazon, de exemplu, numara doar pana la doi, numerele mai mari decat acesta sunt reprezentate prin cuvantul „multe”. In Tanzania, tribul Hadza numara pana la trei, si ambele triburi se descurca bine fara numere, aparent neavand nevoie de acestea.

Dar daca oamenii se descurcau destul de bine si fara numere, de ce a luat nastere numaratul? Se pare ca principalul motiv a fost acela de a opri inselaciunea. Imaginati-va ca ati prins 10 pesti si rugati un prieten sa-i duca acasa pentru voi. Daca nu stiti sa numarati, prietenul ar putea fura din pesti si voi n-ati afla niciodata.

Stiati ca puteti numara pe parti ale corpului vostru?
Triburile din Papua New Guinea au cel putin 900 de diferite sisteme de numarat. Multe triburi se folosesc de degetele de la picioare pentru a numara mai sus de zece, folosind astfel un sistem in baza 20. Exprimarea lor pentru cuvantul zece este „doua maini”. Pentru 15 este „doua maini si un picior”, iar pentru 20 este „un om”. Unele triburi din Papua New Guinea, incep numaratoarea de la degetul mic, pana la mana, apoi la brat, corp, cap, si apoi la cealalta mana ca in figura alaturata. Tribul Fairwol numara 27 de parti ale corpului si se folosesc de cuvintele descriptive acestor parti pentru a se referi la numere. De exemplu, pentru numarul 14 cuvantul este „nas”. Pentru numere mai mari de 27, ei adauga la numarat „un om”. Asa ca 40 va fi „un om si ochiul drept”. Destul de interesant, nu? 
                              
Babilonieni, ce au trait in Irak acum 6000 de ani, numarau in baza 60. Ei au dat anului 360 de zile (6 x 60), si tot ei au inventat minutele si secundele. Iata cum numarau ei: se foloseau de mana stanga pentru a numara pana la 12, impartind fiecare deget exceptand degetul mare in 3 segmente.Apoi se foloseau de mana dreapta pentru a numara pana la 60, atribuind fiecarui deget cate 12.

Va las in finalul acestei parti cu un mod de a invata inmultirea cu 9, folosindu-va de degete. Tineti palmele deschise in fata voastra si numarati degetele de 1 la 10 de la stanga la dreapta. Pentru a inmulti orice numar de 1 la 9, cu 9, indoiti degetul reprezentand numarul pe care il inmultiti, si apoi numarati degetele pana la cel indoit, si degetele dupa degetul indoit. De exemplu pentru 7 x 9, indoiti al saptelea deget. Aveti sase degete inainte de cel indoit, si trei dupa el.

                        Deci 63.

Partea a II - a

Numerele Babiloniene. Perioada 4000-2000 I.C.

Timp de sute de mii de ani, oamenii s-au descurcat foarte bine numarand pe degete, asa cum am mai spus si in postarea anterioara.

Dar in urma cu 6000 de ani, lumea s-a schimbat. In Orientul Mijlociu, oamenii au descoperit cum sa domesticeasca animale si cum sa cultive plante, asa ca au devenit fermieri.

Fermieri din Babylonia (Irak) au inceput sa faca semne din lut ca marturii ale tranzactiilor. Aveau semne de marimi si forme diferite pentru o multitudine de lucruri: un oval pentru un sac de grau, sau un cerc pentru un borcan de ulei...

Cand un schimb implica  mai multe semne, atunci ele erau invelite impreuna intr-un plic de lut. Pentru a arata ce se afla inauntru, comerciantul desena cu un bat ascutit simboluri pe suprafata acestui plic. Cineva a venit cu ideea nemaipomenita de a desena pe o bucata de lut simboluri, ca astfel sa nu se mai chinuie cu o gramada de semne invelite in lut. Si asa s-a inventat scrisul.

Cand oamenii au devenit fermieri, au inceput sa faca tranzactii in piete. Ei trebuiau sa tina minte cate lucruri detineau, cate au vandut,  si cumparat, altfel se inselau unii pe altii. Asa ca ei au inceput sa tina evidenta facand crestaturi in bete sau oase, sau facand noduri in sfori. In Irak, oamenii faceau semne in bulgari de lut ud. Cand lutul se intarea la soare, devenea o inregistrare permanenta. Facand asta, fermieri din Irak au inventat cum sa scrie numere cat si scrisul propiu-zis. Era inceputul civilizatiei, si totul a inceput de la numere.

Primele simboluri erau cercuri ci conuri ca vechile semne din lut, dar pe masura ce babilonieni au invatat sa ascuta creioanele din lemn, simbolurile au devenit mici si ascutite pene.

Ei aveau un simbol ce reprezenta cifra unu, pentru cifra doi foloseau acelasi simbol dar de doua ori si tot asa pana la cifra noua, aranjandu-le unele peste altele intr-un morman. Odata ajunsi la zece, deja fiind prea multe simboluri, au intors simbolul pe o parte. Pentru cifra 20 foloseau de doua ori simbolul de la zece, si tot asa pana la cifra 60, unde s-a intamplat ceva ciudat. Simbolul pentru 60 este exact la fel ca simbolul pentru cifra unu. Pentru a evita confuzia au conceput un sistem bazat pe pozitionare.

Acest sistem  de pozitionare impartea numerele pe coloane, asemenea sistemului nostru actual unde reprezentam puterile lui zece. Asa ca prima coloana incepand din dreapta reprezinta unitatile, urmatoarea coloana multipli de 60, a treia multipli de 3600, si asa mai departe.

Dupa cum bine vedeti, ei nu aveau un simbol pentru cifra zero. Noi folosim zero pentru a distinge numarul 10 de cifra 1. Babilonieni au acelasi simbol atat pentru cifra unu cat si pentru 60. Pe ei nu i-a deranjat prea mult, stiau foarte bine cand se refereau la un lucru individual si cand se refereau la 60 de asemenea lucruri. Pe ei nu i-a incurcat lipsa unui simbol pentru cifra zero de la sfarsitul unui numar. Dar atunci cum reprezentau cifra zero din interiorul unui numar? Priviti imaginea alaturata.

Marele avantaj al acestui sistem de pozitionare este ca ai nevoie de un numar limitat de simboluri (babilonieni foloseau doar doua plus unul pentru cifra zero din interiorul unui numar ), si ca poti reprezenta orice numar, oricat de mare ar fi el.

Daca va intrebati de ce le placeau lor atat de mult numerele in baza 60, ei bine, unul dintre factori este impartirea la numarul 60:

• Factorii lui 10: 2, 5.
• Factorii lui 60: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30.

Apoi, ganditi-va ca sunt 60 de minute intr-o ora, 60 de secunde intr-un minut si 360 de grade intr-un cerc (6x60). Cum am spus si in prima parte a istoriei numerelor, noi am preluat baza 60 pentru toate aceste lucruri de la ei.

Partea a III - a

Numerele egiptene

Egiptenii stravechi cultivau panglica subtire de teren verde de langa raul Nil, care traverseaza desertul Sahara. Nilul le inunda culturile in fiecare vara, ei trebuind sa o ia de la capat an de an. Si astfel au devenit topografi experti, folosindu-se de matematica nu doar pentru numarare, dar si pentru masurarea terenurilor, pentru constructia cladirilor si pentru masurarea timpului.

Egiptenii numarau in baza 10 si scriau numerele ca hieroglife. O linie simpla reprezenta cifra 1, numarul 10 era un desen ce aduce cu osul de la calcai, un desen reprezentand o bobina de franghie pentru numarul 100, pentru numarul 1000 ei desenau o floare lotus, pentru numarul 10.000, un desen reprezentand un deget, numarul 100.000 era reprezentat de o broasca, iar numarul 1.000.000 era reprezentat de un zeu ce tinea mainile ridicate deasupra capului.

Multiplii ai acestor valori erau reprezentati prin repetarea simbolului de cate ori era nevoie. Nu aveau nici un simbol pentru cifra 0 deoarece ei nu aveau acest concept. Conventia pentru citirea numerelor este urmatoarea: numarul cel mai mare este scris intotdeauna in fata numarului mai mic, si acolo unde exista mai mult de un rand de numere, se citeste de sus in jos.

Numerele reale puteau fii si ele exprimate, dar doar ca sume ale fractiilor unitare. Fractiile erau reprezentate de o hieroglofa ce semana cu o gura. Deoarece erau folosite mai frecvent, aveau hieroglofe speciale pentru 1/2, 2/3 si 3/4. Daca numitorul era foarte mare, hieroglifa pentru fractie era pusa la deasupra inceputului numitorului. Aveti cateva exemple mai jos.

Numerele egiptene erau bune pentru adunare si scadere, dar imposibile pentru inmultire. Pentru a ocolii acest dezavantaj, egiptenii au inventat o metoda ingenioasa de inmultire prin dublare. Sa presupunem ca vrei sa inmultesti 13 cu 23. Trebuie sa scrii pe doua coloane. Pe prima scrii 1, 2, 4, si asa mai departe dubland fara a trece de 13, iar in a doua coloana incepi cu numarul 23 (numarul care trebuie inmultit) si il dublezi pana cand cele doua coloane sunt de aceeasi marime. Pe coloana din stanga poti ajunge la suma 13 adunand 8 cu 4 si cu 1, asa ca tai celelate numere ramase. Taie si in a doua coloana numerele ce corespund celor din prima coloana, apoi aduna ce ramane si vei avea rezultatul final,  adica 299.

Stiind cand trebuie sa inunde Nilul era vital pentru egipteni. Prin urmare, ei au invatat sa numere zile si sa tina o evidenta atenta a datei. Ei foloseau Luna si stelele drept calendar. Cand steaua Sirius rasarea vara, ei stiau ca Nilul va inunda. Urmatoarea luna noua era inceputul anului egiptean. Ei mai foloseau soarele si stelele drept ceas. Au divizat noaptea si ziua in 12 ore fiecare, desi durata unei ore varia in functie de anotimp. Multumita egipenilor, avem acum 24 de ore intr-o zi.

Partea a IV - a

Numerele mayase si numerele romane

Numerele mayase

Nativii americani au descoperit si ei agricutura si au inventat diferite modalitati de a scrie numere. Ei aveau un sistem care era chiar  mai bun deca cel al egiptenilor. Ei au tinut o evidenta perfecta a datei si totodata au calculat ca durata unui an este de 365.242 de zile. Ei numarau in baza 20, probabil folosindu-se de degetele de la maini si de la picioare.

Numerele erau formate din trei simboluri: un simbol sub forma de cochilie pentru numarul zero, un punct pentru unu si o linie pentru numarul cinci. simbolurile erau grupate pe verticala pentru a forma numere de pana la 20. Pentru a reprezenta numere mai mari de 20, mayasii aranjau simbolurile in straturi. Numerele noastre sunt scrise pe orizontala, insa mayasii lucrau pe verticala. Stratul cel mai de jos era pentru numere de pana la 20, apoi pe urmatorul strat simbolurile erau inmultite cu 20, iar pe al treilea strat simbolurile erau inmultite cu 400. Aveti cateva exemple in figurile de mai jos.

Numerele romane

Numerele romane s-au intins de-a lungul Europei in timpul Imperiului Roman. Romanii numarau in baza 10 si foloseau litere pe post de numere. Pentru europeni, aceasta a fost principala modalitate de a scrie numere timp de 2000 de ani. Inca mai intalnim numere romane si astazi la ceasuri, la numele roialitatiilor (Regina Elizabeth II), si in carti ce au numerotate paragrafele cu (i), (ii) si (iii).

Numerele romane au la baza sapte simboluri: I pentru 1, V pentru 5, X pentru 10, L pentru 50, C pentru 100, D pentru 500 si M pentru 1000. Pentru numere mai mari de 4000, ei adaugau o linie deasupra unui simbol pentru a indica multiplicarea cu 1000  a simbolului respectiv.

Pentru a scrie orice numar, incepi o lista de litere care adunate dau numarul respectiv, incepand cu numere mici in dreapta si continuand cu cele mari in stanga. Pe masura ce numarul este mai mare, cu atat mai mare devine si lista. De exemplu, pentru a scrie 49 avem nevoie de 9 litere: XXXXVIIII.

Pentru a face lucrurile mai simple, romanii au inventat o regula ce permite sa scazi un numar mai mic cand se afla in stanga unuia mai mare. Asa ca, in loc de IIII pentru numarul 4, vom avea IV, IX pentru 9, XL pentru 40, XC pentru 90, CD pentru 400 si CM pentru 900. Unii nu au respectat intotdeauna aceasta regula, astfel ca, si in zilele noastre veti intalni numarul 4 scris IIII pe unele ceasuri.

Pentru inmultire si impartire, numerele romane erau ingrozitoare. Aveti in poza de mai jos inmultirea numerelor 123 cu 165 ce are ca rezultat 20295. Probabil ca numerele romane au tinut in loc matematica zeci de ani. Matematica a prins aripi cand sistemul inteligent de a numara al indienilor a ajuns in Europa. Dar, despre asta in partea urmatoare.

Partea a V - a

Numerele Indiene

In timpurile stravechi, cea mai buna metoda de adunare era folosirea unui abac. Dar acum 1500 de ani, niste oameni din India au avut o ideea mai buna. Ei au inventat un sistem de pozitionare al numerelor in asa fel incat el sa coincida cu randurile unui abac. Acest sistem permitea efectuarea calculelor mai complexe fara folosirea acestuia. Pentru reprezentarea unui rand gol dintr-un abac era necesara inventarea unui simbol, asa ca indienii l-au inventat pe zero. Aceasta mica inventie avea sa schimbe totul. Noile numere s-au intins din Asia in Europa devenind numerele pe care le folosim azi, noi numimdu-le numere arabe deoarece au trecut prin lumea araba pentru a ajunge in Europa.

Spre deosebire de alte sisteme, cel al indienilor nu avea decat 10 simboluri pentru numere, ceea ce l-a facut foarte usor de folosit. Plimbandu-se peste tot prin lume de-a lungul secolelor, aceste simboluri au evoluat treptat in cifrele moderne pe care cu toti azi le folosim. Initial cifrele doi si trei erau reprezentate prin doua, respectiv trei linii paralele. Pe masura ce oamenii le scriau rapid, liniile s-a unit devenind astfel cifrele de acum.

O mica istorie a drumului parcurs de numerele indiene:

• India 200 i.Hr. – 600 d.Hr. : Matematicieni indieni foloseau simboluri separate pentru cifrele 1 pana la 9 inca din jurul anului 200 i.Hr.  Prin anul 600 ei au inventat sistemul de pozitionare si cifra zero.
• Baghdad 800 d.Hr. : Negustorii au adus numerele indiene in Baghdad, acesta fiind centrul noului fondat Imperiu Arab. Al Khwarizmi a scris carti despre matematica si a ajutat la raspandirea numerelor indiene in lume. Cuvintele „aritmetica” si „algoritm” provin din numele sau, iar cuvantul „algebra” provine din una din cartile sale „Ilm al-jabr wa’l muqabalah”.
• Africa de Nord anul 1200: Imperiul arab s-a extins prin Africa luand cu el si numerele indiene. Acestea au fost preluate de negustori italieni ce vizitau tarile arabe din Africa de Nord. In anul 1202, Fibonacci a explicat cum functioneaza numerele in cartea sa „Liber abaci”, ajutand astfel sistemul indian sa se raspandeasca in Italia.
• Anglia anul 1100: Adelard din Bath, un calugar englez, deghizat in arab, a vizitat Africa de Nord. El a tradus cartile lui Al Khwarizmi si le-a adus inapoi in Anglia. Dar, povestind doar altor calugari, numerele nu s-au raspandit mai departe.
• Europa 1200 – prezent: Numerele indiene le-au inlocuit pe cele romane incet, pe masura ce oamenii descopereau usurinta folosirii acestora in calcule. Aceste noi numere au dus la inceperea erei invatarii – Renaissance, perioada din istoria lumii in care stiinta moderna a luat nastere.

Am sa inchei aici micul serial numit „istoria numerelor”. Sper ca v-a placut si sper ca ati invatat ceva nou din fiecare postare. Este o istorie pe care fiecare pasionat de logica si de stiinte exacte ar trebui sa o cunoasca.

                                 

                                           Sursa de informare şi de documentare utilizată este Internetul.

 Sper sa va placa!