NAN ALEXANDRA AURA
Clasa a-VI-a C
Colegiul Tehnic T.F. “Anghel Saligny”Simeria
Scoala Generala “Sigismund Toduta”
Divizibilitatea numerelor naturale
Definitie: Un numar natural a este divizibil cu un numar natural b daca exista un numar natural c astfel incat a = b x c.
Exemplu: Fie numerele naturale 8 si 2. Exista oare un numar natural astfel incat inmultindu-l cu 2 sa obtinem 8? Da. Acest numar este 4. Intr-adevar: 8 = 2 x 4.
Se mai spune: “a se divide cu b”, “b divide pe a “, “b este divizor al lui a”, “a este multiplu al lui b”.
Daca a si b sunt numere naturale, b | a se citeste “b divide pe a” sau 2 | 6.
Definitie: Fie a si b doua numere naturale. Spunem ca b | a daca exista un numar natural c astfel incat a = b x c.
Observatii:
Nu orice numar natural par este divizibil cu 4. De ex.:6 nu este divizibil cu 4.
Nu orice numar natural de forma 6n – 1, unde n apartine N*, se divide numai cu 1 si cu el insusi.
Exemplu: Fie numerele naturale 8 si 2. Exista oare un numar natural astfel incat inmultindu-l cu 2 sa obtinem 8? Da. Acest numar este 4. Intr-adevar: 8 = 2 x 4.
Se mai spune: “a se divide cu b”, “b divide pe a “, “b este divizor al lui a”, “a este multiplu al lui b”.
Daca a si b sunt numere naturale, b | a se citeste “b divide pe a” sau 2 | 6.
Definitie: Fie a si b doua numere naturale. Spunem ca b | a daca exista un numar natural c astfel incat a = b x c.
Observatii:
Nu orice numar natural par este divizibil cu 4. De ex.:6 nu este divizibil cu 4.
Nu orice numar natural de forma 6n – 1, unde n apartine N*, se divide numai cu 1 si cu el insusi.
De ex.: Daca n = 6, avem 6 x 6 – 1 = 35, iar 35cu 1, cu 35, cu 5 si cu 7.
Proprietati ale divizibilitatii numerelor naturale
Orice numar natural este divizibil cu 1 sau 1 | a oricare ar fi a apartine N. Zero este divizibil cu orice numar natural sau a | 0, oricare ar fi a apartine N.
Orice numar natural se divide cu el insusi sau a | a, oricare ar fi a apar-tine N.
Fie a si b doua numere naturale. Daca a este divizibil cu b si b este divizibil cu a atunci a = b sau daca a | b si b | a, oricare ar fi a, b apartine N.
Fie a, b, c trei numere naturale. Daca b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se divide cu a sau daca a | b si b | c, atunci a | c, oricare ar fi a,b,c apartine N. Daca un numar natural se divide cu nu numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea.
Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, atunci si suma lor se divide cu acel numar natural.
Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m si daca un numar natural b se divide cu acelasi numar natural m, atunci si suma lor a + b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a + b oricare ar fi a, b, m apartine N.
Daca unul din termenii unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, iar celalalt termen nu se divide cu acel numar natural, atunci suma nu se divide cu acel numar natural.
Fie numerele naturale a si b. Daca numarul a se divide cu numarul natural m si daca b nu se divide cu m atunci suma lor a + b nu se divide cu m sau daca m | a si m | b,atunci m | a + b oricare ar fi a, b, m apartine N.
Fie a, b si m numerele naturale, a >b. Daca a se divide cu m si b se divide cu m atunci si a – b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a – b oricare ar fi a, b, m apartine N, a > b.
Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m, atunci produsul lui a cu orice numar natural se divide cu m, sau daca m | a, atunci m | ab, oricare ar fi a, b, m apartine N.
Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 10,100
Un numar natural a carui ultima cifra este zero este un numar divizibil cu 10, adica cu 2 x 5.
Un numar natural a carui ultima cifra nu este 0 nu este divizibil cu 10.
Un numar natural care are ca ultima cifra pe 0 se divide si cu 2 si cu 5.
Un numar natural la care ultimele doua cifre sunt zerouri se divide cu 100, adica cu 2 x 5.
Criteriul de divizibilitate cu 2
Daca ultima cifra a unui numar natural este o cifra para (0, 2, 4, 6, 8), atunci acel numar natural se divide cu 2.
Daca ultima cifra a unui numar natural nu este o cifra para, atunci acel numar natural nu se divide cu 2.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Daca ultima cifra a unui numar natural este 5 sau 0, atunci acel numar se divide cu 5.
Daca ultima cifra a unui numar natural nu este nici 5, nici 0, atunci acel numar nu este divizibil cu 5.
Criteriul de divizibilitate cu 4
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 4.
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 25
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 25.
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 25.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibil cu 3, atunci acel numar este divizibil cu 3.
Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divizibila cu 3, atunci acel numar nu este divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 9
Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibila cu 9, atunci acel numar este divizibil cu 9.
Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divizibila cu 9, atunci acel numar nu este divizibil cu 9.
Orice numar natural este divizibil cu 1 sau 1 | a oricare ar fi a apartine N. Zero este divizibil cu orice numar natural sau a | 0, oricare ar fi a apartine N.
Orice numar natural se divide cu el insusi sau a | a, oricare ar fi a apar-tine N.
Fie a si b doua numere naturale. Daca a este divizibil cu b si b este divizibil cu a atunci a = b sau daca a | b si b | a, oricare ar fi a, b apartine N.
Fie a, b, c trei numere naturale. Daca b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se divide cu a sau daca a | b si b | c, atunci a | c, oricare ar fi a,b,c apartine N. Daca un numar natural se divide cu nu numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea.
Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, atunci si suma lor se divide cu acel numar natural.
Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m si daca un numar natural b se divide cu acelasi numar natural m, atunci si suma lor a + b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a + b oricare ar fi a, b, m apartine N.
Daca unul din termenii unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, iar celalalt termen nu se divide cu acel numar natural, atunci suma nu se divide cu acel numar natural.
Fie numerele naturale a si b. Daca numarul a se divide cu numarul natural m si daca b nu se divide cu m atunci suma lor a + b nu se divide cu m sau daca m | a si m | b,atunci m | a + b oricare ar fi a, b, m apartine N.
Fie a, b si m numerele naturale, a >b. Daca a se divide cu m si b se divide cu m atunci si a – b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a – b oricare ar fi a, b, m apartine N, a > b.
Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m, atunci produsul lui a cu orice numar natural se divide cu m, sau daca m | a, atunci m | ab, oricare ar fi a, b, m apartine N.
Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 10,100
Un numar natural a carui ultima cifra este zero este un numar divizibil cu 10, adica cu 2 x 5.
Un numar natural a carui ultima cifra nu este 0 nu este divizibil cu 10.
Un numar natural care are ca ultima cifra pe 0 se divide si cu 2 si cu 5.
Un numar natural la care ultimele doua cifre sunt zerouri se divide cu 100, adica cu 2 x 5.
Criteriul de divizibilitate cu 2
Daca ultima cifra a unui numar natural este o cifra para (0, 2, 4, 6, 8), atunci acel numar natural se divide cu 2.
Daca ultima cifra a unui numar natural nu este o cifra para, atunci acel numar natural nu se divide cu 2.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Daca ultima cifra a unui numar natural este 5 sau 0, atunci acel numar se divide cu 5.
Daca ultima cifra a unui numar natural nu este nici 5, nici 0, atunci acel numar nu este divizibil cu 5.
Criteriul de divizibilitate cu 4
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 4.
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 25
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 25.
Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 25.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibil cu 3, atunci acel numar este divizibil cu 3.
Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divizibila cu 3, atunci acel numar nu este divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 9
Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibila cu 9, atunci acel numar este divizibil cu 9.
Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divizibila cu 9, atunci acel numar nu este divizibil cu 9.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu